Rasyonel Sayılar

 Rasyonel Sayılar

 Rasyonel sayılar ya da oranlı sayılar, iki tam sayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayıların oluşturduğu kümedir. Rasyonel sayılar tam sayıların bir genişlemesidir ve  ile gösterilir.  kümesi genelde şöyle tanımlanır:

(a ve b tam sayı ve b sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara rasyonel sayı denir)

${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ve ${\displaystyle \frac{4}{6}}$ veya ${\displaystyle \frac{6}{9}}$ eşdeğer rasyonel sayılardır. Dolayısıyla her rasyonel sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Rasyonel sayıların en basit biçimi ${\displaystyle �}$ ve ${\displaystyle �}$ tam sayılarının ortak bölen'inin olmadığı ${\displaystyle �/�}$ ifadesidir.

Her tam sayı rasyonel sayıdır. Çünkü ${\displaystyle -3=\frac{-3}{1}}$ veya ${\displaystyle 0=\frac{0}{1}}$ veya ${\displaystyle 43=\frac{43}{1}}$ şeklinde yani Rasyonel sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Rasyonel sayılar kümesi ${\displaystyle \mathbb{�}}$, tam sayılar kümesi ${\displaystyle \mathbb{�}}$'yi kapsar. Yani ${\displaystyle \mathbb{�}\subset \mathbb{�}}$.

Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir rasyonel sayı olarak anılır. ${\displaystyle \mathbb{�}\times \mathbb{�}}$ kümesinden seçilmiş keyfi (a,b) ve (c,d) ögeleri için "~" bağıntısı ${\displaystyle (�,�)\sim (�,�)\iff ��=��,�,�\ne 0}$ olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları ${\displaystyle \overline{(�,�)}=\{(�,�)|(�,�)\sim (�,�)\}}$ olurlar. Rasyonel sayı ise basitçe ${\displaystyle \frac{�}{�}=\overline{(�,�)}}$ şeklinde tanımlanır. Tanımda paydanın sıfır olmama şartı ${\displaystyle \frac{�}{0}}$ ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir. Pozitif rasyonel sayılar kümesi ${\displaystyle {\mathbb{�}}^{+}}$ile, negatif rasyonel sayılar kümesi ${\displaystyle {\mathbb{�}}^{-}}$ile gösterilir.

Örneğin

Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta

Yandaki şekilde, bir yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3'te 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3'e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4’e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.